Question

已知中心在坐標原點,焦點在軸上的橢圓過點,且它的離心率.
 
(1)求橢圓的標準方程;
(2)與圓相切的直線交橢圓于兩點,若橢圓上一點滿足,求實數的取值范圍.

Answer 1

(1);(2).

試題分析：（1）設橢圓的標準方程為，由已知得，解出即可求得a，b；
（2）由直線l：y=kx+t與圓（x+1）2+y2=1相切，可得k，t的關系式①，把y=kx+t代入
消掉y得x的二次方程，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由
得λ＝(x₁+x₂，y₁+y₂)，代入韋達定理可求得C點坐標，把點C代入橢圓方程可用k，t表示出λ，再由①式消掉k得關于t的函數，由t2范圍可求得λ2的范圍，進而求得λ的范圍；.
試題解析：(1)設橢圓的標準方程為
由已知得:解得，所以橢圓的標準方程為:
(2)因為直線:與圓相切所以,
把代入并整理得:┈7分
設,則有

因為,,所以,
又因為點在橢圓上,所以,
因為所以
所以,所以的取值范圍為