Question

某地區1986年以來人口總數和居民住宅總面積分別按等比數列和等差數列逐年遞增．已知1986年底人均住房面積為10m²，2006年底人均住房面積為20m²．據此計算：
（1）1996年底人均住房面積超過14m²，試給出證明；
（2）若人口年平均增長率不超過3%，能否確保2008年底人均住房面積比2006年底有所增加？為什么？

Answer 1

解：（1）設86年底人口總數為a，住宅總面積10a，年人口增長的公比為q（即后一年是前一年人口的q倍），年住宅總面積的公差為d，則2006年底人均住房面積為，則10d=5（2q²⁰-1）a，
故1996年底人均住房面積．
（2）2008年底人均住房面積，
2008年與2006年底人均住房面積之差．
∵q＞0，∴只需考慮分子f（q）=22q²⁰-20q²²-1=2q²⁰（11-10q²）-1（q＞1）．
∵f'（q）=440（q¹⁹-q²¹）＜0，∴f（q）單調遞減．
又q≤1.03，∴f（q）≥f（1.03）=2×1.03²⁰（11-10×1.03²）-1，
∴11-10×1.03²＞0.39，2×1.03²⁰=2×（1+0.03）²⁰＞2×（1+20×0.03）=3.2．
∴f（q）＞3.2×0.39-1＞0．
此即表明，2008年底人均住房面積仍超過2006年底人均住房面積．
分析：（1）根據人口總數和居民住宅總面積分別按等比數列和等差數列逐年遞增，可得2006年底人均住房面積，進而可得1996年底人均住房面積，故可證．
（2）線計算2008年與2006年底人均住房面積之差再利用導數的方法，即可解決．
點評：本題以數列為載體，考查實際運用，關鍵是正確理解數列模型，從而構建代數式，有一定的綜合性．