Question

【題目】如圖，已知橢圓的右焦點為，點分別是橢圓的上、下頂點，點是直線上的一個動點（與軸交點除外），直線交橢圓于另一點.

（1）當直線過橢圓的右焦點時，求的面積；

（2）記直線的斜率分別為，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題（1）設出直線方程，聯立直線與橢圓方程，求出交點坐標，再利用三角形的面積公式進行求解；（2）設出直線方程，聯立直線與橢圓方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系和斜率公式進行證明．

試題解析：（1）由題意，焦點，當直線過橢圓的右焦點時，則直線的方程為，即，

聯立，，解得，或（舍），即.

連，則直線：，即，

而，.

故

（2）設，且，則直線的斜率為

，

則直線的方程為，

聯立，化簡得，

解得，

所以，，

所以為定值.