Question

【題目】在平面直角坐標平面中， 的兩個頂點為，平面內兩點、同時滿足：①；②；③．

（1）求頂點的軌跡的方程；

（2）過點作兩條互相垂直的直線，直線與點的軌跡相交弦分別為，設弦的中點分別為．

①求四邊形的面積的最小值；

②試問：直線是否恒過一個定點？若過定點，請求出該定點，若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①的最小值的，②直線恒過定點．

【解析】試題分析：（1）由可得為的重心，設，則，再由，可得為的外心， 在軸上，再由∥，可得，結合即可求得頂點的軌跡的方程；（2）恰為的右焦點．當直線， 的斜率存在且不為0時，設直線的方程為．聯立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程，利用根與系數的關系求得的縱坐標得到和與積．①根據焦半徑公式得、，代入四邊形面積公式，再由基本不等式求得四邊形面積的最小值；②根據中點坐標公式得的坐標，得到直線的方程，化簡整理令解得值，可得直線恒過定點；當直線， 有一條直線的斜率不存在時，另一條直線的斜率為0，直線即為軸，過點（.

試題解析：（1）∵

∴由①知

∴為的重心

設，則，由②知是的外心

∴在軸上由③知，由，得，化簡整理得： ．

（2）解： 恰為的右焦點，

①當直線的斜率存且不為0時，設直線的方程為，

由，

設則，

①根據焦半徑公式得，

又，

所以，同理，

則，

當，即時取等號．

②根據中點坐標公式得，同理可求得，

則直線的斜率為，

∴直線的方程為，

整理化簡得，

令，解得

∴直線恒過定點，

②當直線有一條直線斜率不存在時，另一條斜率一定為0，直線即為軸，過點，

綜上， 的最小值的，直線恒過定點．