Question

【題目】對于無窮數列和函數，若，則稱是數列的母函數.

（Ⅰ）定義在上的函數滿足：對任意，都有，且；又數列滿足.

（1）求證： 是數列的母函數；

（2）求數列的前項和.

（Ⅱ）已知是數列的母函數，且.若數列的前項和為，求證： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)(1)證明見解析；(2) ；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)(1)由題意結合母函數的定義即可證得結論；

(2)由題意錯位相減可得；

(Ⅱ)由題意結合不等式的特點即可證得題中的結論.

試題解析：

（Ⅰ）(1)由題知，且

.

是數列的母函數；

(2) 由(1) 知： 是首項和公差均為的等差數列，故.

①

②

兩式相減得： .

.

（Ⅱ）由題知： ， .

.

從而是以為首項， 為公比的等比數列

又

故當時

.