Question

在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且OC=1，OA=a+1（a＞1），點D在邊OA上，滿足OD=a．分別以OD、OC為長、短半軸的橢圓在矩形及其內部的部分為橢圓弧CD．直線l：y=-x+b與橢圓弧相切，與OA交于點E．
（1）求證：b²-a²=1；
（2）設直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，求直線l的方程；
（3）在（2）的條件下，設圓M在矩形及其內部，且與l和線段EA都相切，求面積最大的圓M的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+y2=1．由

x2 a2 +y2=1 y=-x+b

得（1+a²）x²-2a²bx+a²（b²-1）=0．由于直線l與橢圓相切，知△=（-2a²b）²-4a²（1+a²） （b²-1）=0，由此能夠證明b²-a²=1．
（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），于是OB的中點為(

a+1

2

，  

1

2

)．因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點(

a+1

2

，  

1

2

)，由此能求出直線l的方程．
（3）由E(

5

3

，  0)，  A(

7

3

，  0)．因為圓M與線段EA相切，所以可設其方程為（x-x₀）²+（y-r）²=r²（r＞0）．再由圓M在矩形及其內部和圓M與 l相切，且圓M在l上方，能夠求出面積最大的圓M的方程．

解答：證明：（1）題設橢圓的方程為

x2

a2

+y2=1．…（1分）
由

x2 a2 +y2=1 y=-x+b

消去y得（1+a²）x²-2a²bx+a²（b²-1）=0．…（2分）
由于直線l與橢圓相切，故△=（-2a²b）²-4a²（1+a²） （b²-1）=0，
化簡得b²-a²=1．①…（4分）
解：（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），
于是OB的中點為(

a+1

2

，  

1

2

)．…（5分）
因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點(

a+1

2

，  

1

2

)，
即f（x），亦即2b-a=2．②…（6分）
由①②解得a=

4

3

，  b=

5

3

，故直線l的方程為y=-x+

5

3

．…（8分）
解：（3）由（2）知E(

5

3

，  0)，  A(

7

3

，  0)．
因為圓M與線段EA相切，所以可設其方程為（x-x₀）²+（y-r）²=r²（r＞0）．…（9分）
因為圓M在矩形及其內部，所以

0＜r≤ 1 2 x0＞ 5 3   x0+r≤ 7 3 ．

④…（10分）
圓M與 l相切，且圓M在l上方，所以

3(x0+r)-5

3 2

=r，即3(x0+r)=5+3

2

r．
…（12分）
代入④得

0＜r≤ 1 2 5+3( 2 -1)r 3 ＞ 5 3        5+3 2 r 3 ≤ 7 3 ，

即0＜r≤

2

3

．…（13分）
所以圓M面積最大時，r=

2

3

，這時，x0=

7- 2

3

．
故圓M面積最大時的方程為(x-

7- 2

3

)2+(y-

2

3

)2=

2

9

．…（15分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．本題綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．