Question

【題目】已知橢圓：的左焦點為，其左、右頂點為、，橢圓與軸正半軸的交點為，的外接圓的圓心在直線上.

（I）求橢圓的方程；

（II）已知直線：，是橢圓上的動點，，垂足為，是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(I)；(II)或.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)求出的垂直平分線方程, 的垂直平分線的方程,從而可得的坐標,利用在直線上,結合,即可求得橢圓的方程；(Ⅱ)設,即,解得,(舍去).即可求得點的坐標.

試題解析：（I）由題意知,圓心既在的垂直平分線上,也在的垂直平分線上,

設的坐標為,則的垂直平分線方程為…①

因為的中點坐標為,的斜率為

所以的垂直平分線的方程為…②

聯立①②解得: ,

即,

因為在直線上,所以………（4分）

即

因為,所以

再由求得

所以橢圓的方程為………（7分）

（II）若,即

解得,(顯然不符合條件,舍去).

此時所以滿足條件的點的坐標為.

綜上,存在點或,使得為等腰三角形