Question

（2008•寧波模擬）曲線C是中心在原點，焦點為F(

5

，0)的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是y=

1

2

x．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點E（2，0），若直線l與曲線C交于不同于點E的P，R兩點，且

EP

•

ER

=0，求證：直線l過一個定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）可設曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(x≥a，a＞0，b＞0)，由題意可得，a=2b，a²+b²=5，從而可求a，b，進而可求曲線C的方程
（2）設P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2 4 -y2=1

，，由方程的根與系數關系及

EP

•

ER

=0=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，代入可求得k，m之間的關系則直線l由直線方程的點斜式可求直線所過的定點；當直線l的斜率不存在時，x₁=x₂，y₁=-y₂，，由

EP

•

ER

=0，代入可求

解答：解：（1）設曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(x≥a，a＞0，b＞0)
∵一條漸近線方程是y=

1

2

x，c=

5

∴a=2b，a²+b²=c²=5
∴a=2，b=1
故所求曲線C的方程是

x2

4

-y2=1(x≥2)…（5分）
（2）設P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
①當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m
由

y=kx+m x2 4 -y2=1

，
此時1-4k²≠0
∴

x1+x2= 8km 1-4k2 ＞0 x1•x2= -4m2-4 1-4k2 ＞0

…（7分）
由

EP

•

ER

=0⇒(x1-2)(x2-2)+y1y2
=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
（1+k²）•

-4m2-4

1-4k2

+（km-2）•

8km

1-4k2

+m²+4=0
整理有3m2+16km+20k2=0⇒m=-

10k

3

，或m=-2k…（10分）
當m=-2k時，直線L過點E，不合題意
當m=-

10k

3

，則直線l的方程為y=kx-

10k

3

=k(x-

10

3

)
則直線l過定點（

10

3

，0）…（12分）
②當直線l的斜率不存在時，x₁=x₂，y₁=-y₂，
由

EP

•

ER

=0，
有x12-4x1+4-

y

2 1

=0，又

x 2 1

4

-

y

2 1

=1
從而有x1=x2=

10

3

．此時直線L過點(

10

3

，0)
故直線l過定點(

10

3

，0)…（15分）

點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，向量的坐標表示的應用，屬于直線與曲線位置關系的綜合應用，屬于綜合性試題．