Question

（2012•藍山縣模擬）已知m是一個給定的正整數，如果兩個整數a，b被m除得的余數相同，則稱a與b對模m同余，記作a≡b（modm），例如：5≡13（mod4）．若2²⁰¹⁰≡r（mod7），則r可以為（　　）

A．2008

B．2009

C．2010

D．2011

Answer 1

分析：2²⁰¹⁰=8⁶⁷⁰=（7+1）⁶⁷⁰=

C

0 670

×7670+…+

C

669 670

×7+

C

670 670

，可知2²⁰¹⁰被7除得的余數為1，再判斷2010≡1（mod7），即可得到結論．

解答：解：由題意，2²⁰¹⁰=8⁶⁷⁰=（7+1）⁶⁷⁰=

C

0 670

×7670+…+

C

669 670

×7+

C

670 670

∴2²⁰¹⁰≡1（mod7），
∵2010=7×287+1
∴2010≡1（mod7），
∴r可以為2010
故選C，

點評：本題考查新定義，考查二項式定理的運用，解題的關鍵是確定2²⁰¹⁰被7除得的余數為1．