Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上有三個(gè)零點(diǎn)．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一個(gè)零點(diǎn)，求f（2）的取值范圍；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x²+lnx，試問過點(diǎn)（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=-x³+ax²+bx+c，知f'（x）=-3x²+2ax+b，由f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，能求出b的值．
（2）由f（x）=-x³+ax²+c，知f（1）=0，c=1-a，由f′（x）=-3x²+2ax=0的兩個(gè)根分別為x₁=0，x2=

2a

3

，能求出f（2）的取值范圍．
（3）g（x）=2x+lnx，設(shè)過點(diǎn)（2，5）與曲線g （x）的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），推導(dǎo)出lnx0+

2

x0

-2=0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx+

2

x

-2，能推導(dǎo)出過點(diǎn)（2，5）可作2條切線．

解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=-3x²+2ax+b，
∵f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取到極小值，即f（0）=0．
∴b=0．
（2）由（1）知f（x）=-x³+ax²+c，
∵1是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，即f（1）=0，
∴c=1-a，
∵f′（x）=-3x²+2ax=0的兩個(gè)根分別為x₁=0，x2=

2a

3

，
f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，且函數(shù)f（x）在R上有三個(gè)零點(diǎn)，
∴x2=

2a

3

＞1，解得a＞

3

2

，
∴f（2）=-8+4a+（1-a）=3a-7＞-

5

2

，
∴f（2）的取值范圍是（-

5

2

，+∞）．
（3）g（x）=2x+lnx
設(shè)過點(diǎn)（2，5）與曲線g （x）的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∴y₀-5=g′（x₀）（x₀-2），
即2x0+lnx0-5=(2+

1

x0

)(x0-2)，
∴lnx0+

2

x0

-2=0，…（10分）
令h（x）=lnx+

2

x

-2，
∴h′（x）=

1

x

-

2

x2

=0
∴x=2，
∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增
又∵h(yuǎn)（

1

2

）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=

2

e2

＞0，
∴h（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
∴過點(diǎn)（2，5）可作2條曲線y=g（x）的切線．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)值的取值范圍的求法，考查函數(shù)的切線方程的條數(shù)的判斷．綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．