Question

某公司在招聘員工時，要進行筆試，面試和實習三個過程．筆試設置了3個題，每一個題答對得5分，否則得0分．面試則要求應聘者回答3個問題，每一個問題答對得5分，否則得0分．并且規定在筆試中至少得到10分，才有資格參加面試，而筆試和面試得分之和至少為25分，才有實習的機會．現有甲去該公司應聘，假設甲答對筆試中的每一個題的概率為

3

4

，答對面試中的每一個問題的概率為

1

2

．
（1）求甲獲得實習機會的概率；
（2）設甲在去應聘過程中的所得分數為隨機變量ξ，求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知甲獲得實習機會需要筆試和面試得分之和至少為25分，包括兩種情況：一是筆試和面試得分之和為25分；二是筆試和面試得分之和為30分，這兩種情況是互斥的，做出概率．
（2）甲在去應聘過程中的所得分數為隨機變量ξ，ξ的取值為0，5，10，15，20，25，30．結合變量對應的事件，用獨立重復試驗的公式寫出它們的分布列，算出期望．

解答：解：（1）∵由題意知甲獲得實習機會需要筆試和面試得分之和至少為25分，
包括兩種情況：一是筆試和面試得分之和為25分；二是筆試和面試得分之和為30分，這兩種情況是互斥的
筆試和面試得分之和為25分的概率為p1=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

3 3

×(

1

2

)3+

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

2

=

27

128

，
筆試和面試得分之和為30分的概率為p1=

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

3 3

×(

1

2

)3=

27

512

，
∴甲獲得實習機會的概率為p=p1+p2=

27

128

+

27

512

=

135

512

．
（2）ξ的取值為0，5，10，15，20，25，30．
p(ξ=0)=

C

3 3

×(

1

4

)3=

1

64

，
p(ξ=5)=

C

1 3

×

3

4

×(

1

4

)2=

9

64

，
p(ξ=10)=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

0 3

×(

1

2

)3=

27

512

，
p(ξ=15)=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

1 3

×(

1

2

)3+

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

0 3

×(

1

2

)3=

108

512

，p(ξ=20)=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

2 3

×(

1

2

)3+

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

1 3

×(

1

2

)3=

162

512

，
由（1）知p(ξ=25)=

108

512

，
p(ξ=30)=

27

512

．
∴Eξ=0×

1

64

+5×

9

64

+10×

27

512

+15×

108

512

+20×

162

512

+25×

108

512

+30×

27

512

=

1125

64

點評：本題是一個離散型隨機變量的分布列和期望問題，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，是可以得滿分的一道題目．