Question

已知f（x）=e^x-ax-1．
（1）求f（x）的單調增區間；
（2）求證：e^x＞x+1（x≠0）．

Answer 1

分析：（1）求導函數，令f'（x）≥0得e^x≥a，分類討論：當a≤0時，f'（x）＞0在R上恒成立，當a＞0時，得x≥lna，由此可得f（x）的單調增區間；
（2）構造函數g（x）=e^x-x-1，求導函數，求得g（x）的單調性與最值，即可證得結論．

解答：（1）解：∵f（x）=e^x-ax-1，∴f'（x）=e^x-a…（1分）
令f'（x）≥0得e^x≥a，當a≤0時，f'（x）＞0在R上恒成立，當a＞0時，得x≥lna，…（3分）
綜上所述：當a≤0時f（x）的單調增區間是（-∞，+∞）；當a＞0時f（x）的單調增區間是（lna，+∞）…（6分）
（2）證明：設g（x）=e^x-x-1，則由g'（x）=e^x-1＞0解得x＞0，…（7分）
∴g（x）在（0，+∞）上遞增，在（-∞，0）上遞減；…（9分）
∴總有g（x）＞g（0）=0…（11分）
即e^x-x-1＞0，∴e^x＞x+1（x≠0）…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查構造函數證明不等式，正確運用導數是關鍵．