Question

【題目】某中學調查防疫期間學生居家每天鍛煉時間情況，從高一、高二年級學生中分別隨機抽取100人，由調查結果得到如下的頻率分布直方圖：

（Ⅰ）寫出頻率分布直方圖（高一）中的值；記高一、高二學生100人鍛煉時間的樣本的方差分別為，，試比較，的大�。ㄖ灰�求寫出結論）；

（Ⅱ）估計在高一、高二學生中各隨機抽取1人，恰有一人的鍛煉時間大于20分鐘的概率；

（Ⅲ）由頻率分布直方圖可以認為，高二學生鍛煉時間服從正態分布．其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，且每名學生鍛煉時間相互獨立，設表示從高二學生中隨機抽取10人，其鍛煉時間位于的人數，求的數學期望．

注：①同一組數據用該區間的中點值作代表,計算得

②若，則，

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）0.42（Ⅲ）6.826

【解析】

(I)根據圖中的數據即可判斷方差的大小，利用頻率總和為1即可求出的值；

(II)先設設事件：在高一學生中隨機抽取1人，其鍛煉時間不大于20分鐘，事件：在高二學生中隨機抽取1人，其鍛煉時間不大于20分鐘，根據圖形數據可得到它們的概率，而恰有一人的鍛煉時間大于20分鐘分兩種情況：一種是這個人在高一；另一種是這個人在高二；再不出它們的概率和即可；

(III)利用所給的數據分別求出樣本平均數和樣本方差，代入公式即可求出概率和數學期望.

解：（Ⅰ），；

（Ⅱ）設事件：在高一學生中隨機抽取1人，其鍛煉時間不大于20分鐘，

事件：在高二學生中隨機抽取1人，其鍛煉時間不大于20分鐘，

事件：在高一、高二學生中隨機抽取1人，恰有一個學生鍛煉時間大于20分鐘，且另一個不大于20分鐘，

則，

，

．

（Ⅲ），由條件得，

從而，

從高二中隨機抽取10人，其鍛煉時間值位于的概率是0．6826，

根據題意得，．