Question

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4．
（Ⅰ）求異面直線DE與BC的距離；
（Ⅱ）求二面角B-EC-D的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直，證明BD⊥DE，利用勾股定理證明DB⊥BC，從而DB是異面直線DE與BC的公垂線段；
（Ⅱ）設(shè)CD的中點(diǎn)為M，連接BM，過M作MN⊥EC于N，連接BN，可得∠BMN為二面角B-EC-D的平面角，在直角△BMN中，可求二面角B-EC-D的正切值．

解答：解：（Ⅰ）∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，平面ADEF∩平面ABCD=AD
∴CD⊥DE
∵DE⊥AD，CD∩AD=D
∴DE⊥平面ABCD
∴BD?平面ABCD
∴BD⊥DE
∵AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，∴DB=BC=2

2

∵CD=4，∴DB²+BC²=DC²
∴DB⊥BC
∴DB是異面直線DE與BC的公垂線段，距離為2

2

；
（Ⅱ）設(shè)CD的中點(diǎn)為M，連接BM，則BM⊥CD

由（Ⅰ）可得DE⊥BM
∵DE∩CD=D
∴BM⊥平面BCD
過M作MN⊥EC于N，連接BN，則BN⊥EC
∵∠BMN為二面角B-EC-D的平面角
∵M(jìn)N=

2 5

5

∴在直角△BMN中，tan∠BMN=

BM

MN

=

5

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線間的距離，考查面面角，正確找出異面直線DE與BC的公垂線段，作出面面角是解題的關(guān)鍵．