Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的振幅為

2

，周期為π，且圖象關于直線x=

π

8

對稱．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數y=sinx的圖象作怎樣的變換可以得到f（x）的圖象？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數的振幅得到A，函數的周期求出ω，利用函數的對稱軸求出φ，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數y=sinx的圖象的伸縮變換，按照變換初相位，周期，振幅的順序，直接寫出變換得到f（x）的圖象即可．

解答：解：（Ⅰ）：∵函數f（x）=Asin（ωx+φ）的振幅為

2

，∴A=

2

，周期為π，∴T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∵函數f（x）=

2

sin（2x+φ）（0＜?＜

π

2

）的圖象關于直線x=

π

8

對稱，
∴f（

π

8

）=

2

sin（2×

π

8

+φ）=±

2

，解得2×

π

8

+φ=

π

2

+kπ，k∈Z，
又∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

，
則f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)．
（Ⅱ）將y=sinx向左平移

π

4

個單位，然后縱坐標不變，橫坐標壓縮到原來的

1

2

倍，最后橫坐標不變，縱坐標拉伸到原來的

2

倍可得f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)．

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，三角函數的圖象的平移與伸縮變換，基本知識的考查．