Question

 （本小題滿分14分）已知橢圓的離心率. 直線（）與曲線交于不同的兩點,以線段為直徑作圓,圓心為．

  (1) 求橢圓的方程；

  (2) 若圓與軸相交于不同的兩點，求的面積的最大值.

Answer 1

【解析】本小題主要考查橢圓、圓、直線與圓的位置關系等知識,  考查數形結合、化歸與轉化、函數與方程的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創新意識.

（1）解：∵橢圓的離心率,

     ∴.                          …… 2分

        解得.

         ∴ 橢圓的方程為．         …… 4分

（2）解法1：依題意，圓心為．

    由 得.                         

∴ 圓的半徑為．                  …… 6分

∵ 圓與軸相交于不同的兩點，且圓心到軸的距離，

∴ ，即．                 

∴ 弦長．   …… 8分

∴的面積                 …… 9分

               

               

                .                         …… 12分

   當且僅當，即時，等號成立.

      ∴ 的面積的最大值為．               …… 14分

解法2：依題意，圓心為．

    由 得.

∴ 圓的半徑為．                     …… 6分

   ∴ 圓的方程為．

∵ 圓與軸相交于不同的兩點，且圓心到軸的距離，

∴ ，即．

    在圓的方程中，令，得，

 ∴ 弦長．                            …… 8分

∴的面積                      …… 9分       

               

               

                .                             ……12分

   當且僅當，即時，等號成立.

     ∴ 的面積的最大值為．                …… 14分