Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求二面角A-BE-D的正弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）連接AC，BD，交點(diǎn)為G．由△CBG∽△ADG，且CB=2AD．知CG=2AG，在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．故EG‖PC．由此能夠證明PC‖平面EBD．
（2）以B為原點(diǎn)，BA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，BP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則

DA

=(0，3，0)，

BD

=(3，-3，0)，

BE

=(2，1，0)，由題得向量

DA

=（0，3，0）是平面ABE的一個(gè)法向量．設(shè)向量

n

=（x，y，z）是平面BDE的一個(gè)法向量，由

n

•

BD

=0，

n

•

BE

=0，知

3x-3y=0 2x+z=0

，故

n

=（1，1，-2），由向量法能夠求出二面角A-BE-D的正弦值．

解答：解：（1）連接AC，BD，交點(diǎn)為G．
∵AD∥BC，
∴△CBG∽△ADG，且CB=2AD．
∴CG=2AG，
在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．
∴EG‖PC．
∵EG在平面EBD內(nèi)，
∴PC‖平面EBD．
（2）以B為原點(diǎn)，BA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，BP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，
∴A（3，0，0），D（3，-3，0），B（0，0，0），E（2，1，0），
∴

DA

=(0，3，0)，

BD

=(3，-3，0)，

BE

=(2，1，0)，
由題得向量

DA

=（0，3，0）是平面ABE的一個(gè)法向量．
設(shè)向量

n

=（x，y，z）是平面BDE的一個(gè)法向量，
∵

n

•

BD

=0，

n

•

BE

=0，
∴

3x-3y=0 2x+z=0

，令x=1，得

n

=（1，1，-2），
設(shè)二面角A-BE-D的平面角是θ，
則cosθ=|cos＜

DA

，

n

＞|
=|

3

3× 6

|=

6

6

．
∴二面角A-BE-D的正弦值sinθ=

1-( 6 6 )2

=

30

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明和求二面角的正弦值，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的靈活運(yùn)用．