Question

已知函數f（x）=ax³+bx²的圖象經過點A（1，3），曲線在點A處的切線恰好與直線x+7y=0垂直．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間[m-1，m]上單調遞減，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=ax³+bx²的圖象經過點A（1，3）⇒a+b=3①；f′（1）=3a+2b，f′（1）•（-

1

7

）=-1②，①②聯立即可求得實數a，b的值；
（Ⅱ）由f′（x）=3x²+4x≤0⇒-

4

3

≤x≤0，函數f（x）在區間[m-1，m]上單調遞減⇒[m-1，m]⊆[-

4

3

，0]，從而可求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²的圖象經過點A（1，3）
∴a+b=3---（1分）
∵f′（x）=3ax²+2bx，
∴f′（1）=3a+2b-------------（2分）
由已知條件知f′（1）•（-

1

7

）=-1，
即3a+2b=7-------------（4分）
∴解

a+b=3 3a+2b=7

得：

a=1 b=2

-------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³+2x²，f′（x）=3x²+4x，
令f′（x）=3x²+4x≤0，則-

4

3

≤x≤0--------------（8分）
∵函數f（x）在區間[m-1，m]上單調遞減，
∴[m-1，m]⊆[-

4

3

，0]，
∴

m-1≥- 4 3 m≤0

，即-

1

3

≤m≤0---------------（12分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查導數的幾何意義，考查方程思想與集合的包含關系，考查分析運算能力，屬于中檔題．