Question

（2013•肇慶二模）設F₁，F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點．
（1）設橢圓C上的點(

2

2

，

3

2

)到F₁，F₂兩點距離之和等于2

2

，寫出橢圓C的方程；
（2）設過（1）中所得橢圓上的焦點F₂且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF₁的面積；
（3）設點P是橢圓C 上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PN，k_PN試探究k_PN•k_PN的值是否與點P及直線l有關，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用點(

2

2

，

3

2

)在橢圓上，橢圓C上的點(

2

2

，

3

2

)到F₁，F₂兩點距離之和等于2

2

，求出幾何量，即可求得橢圓C的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯立，利用S△ABF1=S△AF1F2+S△BF1F2，即可求△ABF₁的面積；
（3）利用M，N，P在橢圓上，代入橢圓方程，兩方程相減，再計算k_PN•k_PN的值，即可得到結論．

解答：解：（1）由于點(

2

2

，

3

2

)在橢圓上，所以

( 2 2 )2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 2a=2 2

（2分）
解得

a2=2 b2=1

，（4分）
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1（5分）
（2）由（1）知橢圓C的左右焦點坐標分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），|F₁F₂|=2
所以，過橢圓的焦點F₂且斜率為1的直線方程為y=x-1
將其代入

x2

2

+y2=1，整理得3x²-4x=0，解得x1=0，x2=

4

3

當x₁=0時，y₁=-1，當x2=

4

3

時，y2=

1

3

所以△ABF₁的面積：S△ABF1=S△AF1F2+S△BF1F2=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2|=

1

2

×2×1+

1

2

×2×

1

3

=

4

3

（9分）
（3）過原點的直線L與橢圓

x2

2

+y2=1相交的兩點M，N關于坐標原點對稱，
設M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y），
∵M，N，P在橢圓上，
∴

x 2 0

2

+

y

2 0

=1，

x2

2

+y2=1
兩式相減得

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

1

2

又∵kPN=

y-y0

x-x0

，kPN=

y+y0

x+x0

，
∴kPN•kPN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

1

2

故：k_PN•k_PN的值與點P的位置無關，同時與直線l無關．（14分）

點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查點差法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．