Question

（2009•嘉定區(qū)二模）圖1所示的是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖．圖2是它的主視圖和左視圖（單位：cm）．
（1）在主視圖下面按照三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；
（2）按照圖2給出的尺寸，求該多面體的體積；
（3）在圖1中連接B₁C，求異面直線EF和B₁C所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征與它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖可得其側(cè)視圖．
（2）由題意可得：所求多面體體積V=V_長方體-V_{正三棱錐，}
（3）在AB上取一點(diǎn)G，使AG=1（BG=4），連接B₁G，CG，則∠FB₁G=45°，所以B₁G∥FE，所以∠CB₁G（或其補(bǔ)角）就是異面直線EF和B₁C所成的角．在△CB₁G中 求解即可．

解答：解：（1）


注：正確作出圖形得（3分），作錯(cuò)不給分．
（2）V=5×4×3-

1

3

×

1

2

×2×2×2=60-

4

3

=

176

3

（cm³），
所以，該多面體的體積為

176

3

cm³．…（8分）
（3）由已知，∠B₁FE=135°，在AB上取一點(diǎn)G，使AG=1（BG=4），連接B₁G，CG，則∠FB₁G=45°，所以B₁G∥FE，所以∠CB₁G（或其補(bǔ)角）就是異面直線EF和B₁C所成的角．…（10分）
在△CB₁G中，B1G=4

2

，B₁C=GC=5，所以cos∠CB1G=

2 2

5

．…（13分）
所以異面直線EF和B₁C所成角的大小為arccos

2 2

5

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查該多面體的三視圖，多面體的體積的計(jì)算，異面直線所成角的大小計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化（不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體求體積、空間角轉(zhuǎn)化為平面角）的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．