Question

設f（x）定義域為R，對任意的x都有f（x）=f（2-x），且當x≥1時，f（x）=2^x-1，則有（　　）

• A、f（

  1

  3

  ）＜f（

  3

  2

  ）＜f（

  2

  3

  ）
• B、f（

  2

  3

  ）＜f（

  3

  2

  ）＜f（

  1

  3

  ）
• C、f（

  2

  3

  ）＜f（

  1

  3

  ）＜f（

  3

  2

  ）
• D、f（

  3

  2

  ）＜f（

  2

  3

  ）＜f（

  1

  3

  ）

Answer 1

分析：本題是關于函數圖象對稱性的一個題，
方法一：由f（x）定義域為R，對任意的x都有f（x）=f（2-x），知對稱軸是x=1，故有f（

1

3

）=f（

5

3

），f（

2

3

）=f（

4

3

），又x≥1時，f（x）=2^x-1，函數在（1，+∞）上是增函數，

5

3

＞

3

2

＞

4

3

，由此可選出正確選項；
方法二：由f（x）定義域為R，對任意的x都有f（x）=f（2-x），知對稱軸是x=1，由對稱性知其在（-∞，1）上是減函數，其圖象的特征是自變量離1的距離越遠，其函數值越大，由此特征判斷函數值的大小即可．

解答：解：方法一：由條件f（x）=f（2-x）可得函數圖象關于直線x=1對稱，則f（

1

3

）=f（

5

3

），f（

2

3

）=f（

4

3

），由于當x≥1時，f（x）=2^x-1，即函數在[1，+∞）上為增函數，由于

5

3

＞

3

2

＞

4

3

，故有f（

1

3

）=f（

5

3

）＞f（

3

2

）＞f（

4

3

）=f（

2

3

）
 故應選B．
方法二：由f（x）定義域為R，對任意的x都有f（x）=f（2-x），知對稱軸是x=1，由對稱性知其在（-∞，1）上是減函數，其圖象的特征是自變量離1的距離越遠，其函數值越大，
∵1-

2

3

＜

3

2

-1＜1-

1

3

∴f（

2

3

）＜f（

3

2

）＜f（

1

3

）
故應選B．

點評：本題考點是指數函數的單調性與特殊點，考查指數函數的單調性與函數的對稱性，解決本題時一用轉化方法，轉化到一個單調區間中用單調性比較大小，一是根據圖象的特征根據離對稱軸的距離比較大小．注意比較兩種方法的異同．