Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的圖象在點處的切線的斜率為，求函數在上的最小值；

（2）若關于的方程在上有兩個解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先求，導數的幾何意義求解，利用導數求函數的最值，即可.

（2）由題意可知，若使得關于的方程在上有兩個解，則需在有兩個解. 令，，利用導數研究函數的極值與最值，令，求解即可.

（1）由題意可知，，

則，即，

故；

令，即；

當時，在上單調遞減.

當時，在上單調遞增.

因為，，

所以

故函數在上的最小值為.

（2）依題意，；

若使得關于的方程在上有兩個解

則需在有兩個解.

令，．

①當時，

所以在上單調遞增．

由零點存在性定理，在至多一個零點，不符合題意舍去．

②當時，令，則．

		0
	單調遞增	極大值	單調遞減

因為，，

所以要使在內有兩個零點，

則即可，即，

又因為，所以

綜上所述，實數的取值范圍為．