Question

【題目】已知橢圓E： 的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 左、右頂點分別為A，B．以F1F2為直徑的圓O過橢圓E的上頂點D，直線DB與圓O相交得到的弦長為 ．設點P（a，t）（t≠0），連接PA交橢圓于點C，坐標原點為O．

（I）求橢圓E的方程；
（II）若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積，求|t|的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為以F1，F2為直徑的圓O過點D，所以b=c，則圓O的方程為x2+y2=b2，

又a2=b2+c2，所以 ，直線DB的方程為 ，直線DB與圓O相交得到的弦長為 ，

則 ，所以b=1， ，

所以橢圓E的方程為 ．

（Ⅱ）由已知得： ，b=1，橢圓方程為 ，

設直線PA的方程為 ，由

整理得 ，

解得： ， ，則點C的坐標是 ，

故直線BC的斜率為 ，由于直線OP的斜率為 ，

所以kBCkOP=﹣1，所以OP⊥BC．

所以 ， ，所以 ，

整理得2+t2≥4， ，所以

【解析】（Ⅰ）由題意可知：b=c，則 ，則直線DB的方程為 ，由題意可知 ，即可求得b及a的值，求得橢圓方程；（2）設直線PA的方程為 ，代入橢圓方程，求得C點坐標，直線BC的斜率為 ，由于直線OP的斜率為 ，可得OP⊥BC，分別求得三角形ABC的面積及四邊形OBPC的面積由 ，即可求得丨t丨取值范圍，即可求得|t|的最小值．