Question

（2013•嘉定區二模）（理）如圖：已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD與平面BCD所成的角為30°，且AB=BC=2．
（1）求AD與平面ABC所成角的大小；
（2）求點B到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD與平面ABC所成的角，然后直接解直角三角形即可；
（2）設出點B到平面ACD的距離，直接利用等積法求距離．

解答：解：（1）如圖，

因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD與平面ABC所成的角．
因為AB⊥平面BCD，AD與平面BCD所成的角為30°，故∠ADB=30°，
由AB=BC=2，得AD=4，AC=2

2

，
所以cos∠DAC=

AC

AD

=

2

2

，
所以AD與平面ABC所成角的大小為45°；
（2）設點B到平面ACD的距離為d，由（1）可得BD=2

3

，CD=2

2

，
則VA-BCD=

1

3

S△BCD•AB=

1

6

BC•CD•AB
=

1

6

×2×2

2

×2=

4 2

3

．
VB-ACD=

1

3

S△ACD•d=

1

6

AC•CD•d
=

1

6

×2

2

×2

2

d=

4

3

d．
由V_A-BCD=V_B-ACD，得

4 2

3

=

4

3

d，所以d=

2

．
所以點B到平面ACD的距離為

2

．

點評：本題考查了直線和平面所成角的計算，考查了利用等積法求點到面的距離，變換椎體的頂點，利用其體積相等求空間中點到面的距離是較有效的方法，此題是中檔題．