Question

橢圓的中心在原點，焦點在軸上，，過點的直線交橢圓于兩點，且滿足．

（1）若為常數，試用直線的斜率表示的面積；

（2）若為常數，當的面積取最大值時，求橢圓的方程；

（3）若變化且，試問：實數和直線的斜率分別為何值時，橢圓的短半軸取得最大值，并求此時橢圓的方程．

Answer 1

（1）  （2）  （3）

解析:

設橢圓方程為．

       由，，得．

       故橢圓方程為．        ①

       （1）因為直線交橢圓于，兩點，

       并且．

．

即

把代入橢圓得且．

，             ③

．                 ④

因此，．

聯立②③得．

（2），

當且僅當時，即時，取得最大值，此時．

又，

，，

將，代入④，得．

故橢圓方程為．

（3）由②③聯立得，，

把代入④得．

易知，時，是的減函數，

故當時，．

當，時，橢圓短半軸取得最大值，

此時橢圓方程為．