Question

如圖，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
（1）設AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函數關系式；
（2）如果DE是灌溉水管，為節約成本，希望它最短，DE的位置應在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應在哪里？請予證明．

Answer 1

分析：（1）先根據S_△ADE=

1

2

S_△ABC求得x和AE的關系，進而根據余弦定理把x和AE的關系代入求得x和y的關系．
（2）根據均值不等式求得y的最小值，求得等號成立時的x的值，判斷出DE∥BC，且DE=

2

．進而可得函數f（x）的解析式，根據其單調性求得函數的最大值．

解答：解（1）在△ADE中，y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°?y²=x²+AE²-x•AE，①
又S_△ADE=

1

2

S_△ABC=

3

2

2²=

1

2

x•AE•sin60°?x•AE=2．②
②代入①得y²=x²+(

2

x

)2-2（y＞0），
∴y=

x2+ 4 x2 -2

（1≤x≤2）；
（2）如果DE是水管y=

x2+ 4 x2 -2

≥

2•2-2

=

2

，
當且僅當x²=

4

x2

，即x=

2

時“=”成立，故DE∥BC，且DE=

2

．
如果DE是參觀線路，記f（x）=x²+

4

x2

，
可知函數在[1，

2

]上遞減，在[

2

，2]上遞增，
故f（x）_max=f（1）=f（2）=5．∴y_max=

5-2

=

3

．
即DE為AB中線或AC中線時，DE最長．

點評：本題主要考查了基本不等式．考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力．