Question

設V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f：V→V，a∈V，記a的象為f（a）．若映射f：V→V滿足：對所有a、b∈V及任意實數λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換．下列命題中假命題是（　　）

• A．設f是平面M上的線性變換，a、b∈V，則f（a+b）=f（a）+f（b）
• B．對a∈V，設f（a）=-a，則f是平面M上的線性變換
• C．若

  e

  是平面M上的單位向量，對a∈V，設f（a）=a+e，則f是平面M上的線性變換
• D．設f是平面M上的線性變換，a∈V，則對任意實數k均有f（ka）=kf（a）．

Answer 1

分析：對所有a、b∈V及任意實數λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換，依題意，對A，B、C、D四個選項逐一分析即可．

解答：解：A：令λ=μ=1，則f（a+b）=f（a）+f（b），故A是真命題；
同理，D：令λ=k，μ=0，則f（ka）=kf（a），故D是真命題；
B：∵f（a）=-a，則有f（b）=-b，
f（λa+μb）=-（λa+μb）=λ•（-a）+μ（-b）=λf（a）+μf（b）是線性變換，故B是真命題；
C：由f（a）=a+

e

，則有f（b）=b+

e

，
f（λa+μb）=（λa+μb）+

e

=λ•（a+

e

）+μ•（b+

e

）-e=λf（a）+μf（b）-

e

，
∵

e

是單位向量，

e

≠0，故C是假命題．
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查對新定義“平面M上的線性變換”的理解與應用，考查賦值法，屬于中檔題．