Question

設橢圓E：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，已知橢圓E上的任意一點P，滿足•的最小值為a²，過F₁作垂直于橢圓長軸的弦長為3．（參考公式：•=||•||cosθ=x₁x₂+y₁y₂）
（1）求橢圓E的方程；
（2）若過F₁的直線交橢圓于A，B兩點，求•的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設點P（x₀，y₀），則，
∴，
∵，
∴，∴a=2c，
又，∴，∴，a²=4，b²=3，
∴橢圓的方程為：；
（2）當過F₁的直線AB的斜率不存在時，點A（-1，）B（-1，-），則•=；
當過F₁的直線AB存在斜率時，設斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
，，
所以•=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=
=+（k²+1）==-，
∵k²≥0，∴-3≤•＜，
綜上所述，∴-3≤•＜；
分析：（1）設點P（x₀，y₀），用坐標表示出•，根據二次函數性質求得其最小值，令最小值為a²，由長軸長可得=，結合a²=b²+c²即可解得a，b；
（2）當過F₁的直線AB的斜率不存在時，容易求得此時•；當過F₁的直線AB存在斜率時，設斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線方程與橢圓方程消去y得x的二次方程，利用韋達定理及向量數量積運算可把•表示為關于k的函數，根據k的取值范圍即可求得•的范圍，綜上即可求得答案．
點評：本小題主要考查橢圓的方程、幾何性質，平面向量的數量積的坐標運算，直線與圓錐曲線的位置關系等基本知識及推理能力和運算能力．