Question

已知橢圓，其中短軸長和焦距相等，且過點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若P（x，y）在橢圓C的外部，過P做橢圓的兩條切線PM、PN，其中M、N為切點，則MN的方程為．已知點P在直線x+y-4=0上，試求橢圓右焦點F到直線MN的距離的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓方程為，由，過點M（2，），能導出橢圓方程．
（2）設P（x，y），則即x=4-y，因x+y-4=0與橢圓無交點，所以P在橢圓C的外部，MN所在直線方程為，由此能求出橢圓右焦點F到直線MN的距離的最小值．
解答：解：（1）設橢圓方程為，
∵，過點M（2，），
∴，
∴，
∴橢圓方程為．
（2）設P（x，y），則x+y-4=0，即x=4-y，
∵x+y-4=0與橢圓無交點，∴P在橢圓C的外部，
∴MN所在直線方程為，
即xx+2yy-8=0，
設所求距離為d，且F（2，0），
則
=，
∴當y=4時，d_min=1．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．