Question

（12分）橢圓C：的兩個焦點分別為 ,是橢圓上一點，且滿足。

（1）求離心率e的取值范圍；

（2）當離心率e取得最小值時，點N( 0 , 3 )到橢圓上的點的最遠距離為。

(i)求此時橢圓C的方程；

(ii)設斜率為的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問A、B兩點能否關于過點P（0，）、Q的直線對稱？若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解：(1)、由幾何性質知的取值范圍為：≤e＜1………………3分

(2)、(i) 當離心率e取最小值時，橢圓方程可表示為+ = 1 。設H( x , y )是橢圓上的一點，則| NH |² =x²+(y-3)² = - (y+3)²+2b²+18 ，其中 - b≤y≤b

若0＜b＜3 ，則當y = - b時，| NH |²有最大值b²+6b+9 ，所以由b²+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) …………………5分

若b≥3，則當y = -3時，| NH |²有最大值2b²+18 ，所以由2b²+18=50解得b²=16

∴所求橢圓方程為+ = 1………………7分

(ii) 設 A( x₁ , y₁ ) ，B( x₂ , y₂ )，Q( x₀ , y₀ )，則由兩式相減得x₀+2ky₀=0；……8分

又直線PQ⊥直線l，∴直線PQ的方程為y= - x - ，將點Q( x₀ , y₀ )坐標代入得y₀= - x₀- ………②　　……9分

由①②解得Q( - k ,  )，而點Q必在橢圓的內部

∴ + < 1，…… 10分，  由此得k² < ，又k≠0 ∴ - < k < 0或0 < k <

故當( - , 0 ) ∪( 0 , )時，A、B兩點關于過點P、Q、的直線對稱�！�………12分