Question

已知數列{a_n}滿足：

a1=0 an+1= 1+an 3-an (n∈N*)

，
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值，由此猜想a_n的通項公式；
（2）用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根據求出的錢5項的值，猜想：an=

n-1

n+1

(n∈N*)．
（2）檢驗①當n=1時，猜想成立，假設ak=

k-1

k+1

，則由 ak+1=

1+ak

3-ak

=

1+ k-1 k+1

3- k-1 k+1

=

(k+1)-1

(k+1)+1

，可得
當n=k+1時，猜想仍成立．

解答：解：（1）a2=

1

3

，a3=

1

2

=

2

4

，a4=

3

5

，a5=

2

3

=

4

6

，由此猜想：an=

n-1

n+1

(n∈N*)．
（2）證明：①當n=1時，a1=0=

1-1

1+1

，猜想成立；
②假設當n=k（k≥1）時，猜想成立，即ak=

k-1

k+1

，則當n=k+1時，ak+1=

1+ak

3-ak

=

1+ k-1 k+1

3- k-1 k+1

=

2k

2k+4

=

k

k+2

=

(k+1)-1

(k+1)+1

，
這表明當n=k+1時，猜想仍成立． 根據①②，猜想對任意的n∈N^*都成立．

點評：本題考查數列的遞推式，歸納推理，用數學歸納法證明等式，證明當n=k+1時，猜想仍成立，是解題的關鍵和難點．