Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=AB，E為PD 的中點，O為AC與BD的交點；
①求證：PB∥平面EAC；
②求異面直線BC與PD所成角的大小．

Answer 1

分析：①利用線面平行的判定定理證明．
②利用異面直線所成角的定義求夾角．

解答：解；①證明：連接OE
∵底面ABCD為正方形
∴BO=DO
∴O為BD的中點，E為PD的中點
在△PDB中，OE為中位線，
因為PB∥OE，
OE?面EAC，PB?面EAC，
所以PB∥平面EAC．
②因為AD∥BC，所以AD與PD所成的角即為異面直線BC與PD所成角．
因為PA⊥面ABCD，所以PA⊥AD，
又PA=AB=AD，
所以三角形PDA為等腰直角三角形，
所以∠PDA=45°，即異面直線BC與PD所成角的大小為45°．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定依據空間異面直線所成的角，要求熟練掌握相關的定理．