Question

設有半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時從村落中心出發，B向北直行，A先向東直行，出村后不久，改變前進方向，沿著與村落周界相切的直線前進，后來恰與B相遇．設A、B兩人速度一定，其速度比為3：1，問兩人在何處相遇？

Answer 1

分析：先根據題意，以村落中心為坐標原點，向東的方向為x軸建立直角坐標系，根據兩人的速度關系設其速度及各點，將實際問題轉化為數學問題，利用圖形中的直角三角形得到5x₀=4y₀，代入直線的斜率公式可得直線的斜率，再利用直線與圓相切即可的直線方程，也就得到了該問題的解．

解答：解：如圖，建立平面直角坐標系，由題意可設A、B兩人速度分別為3v千米/小時，
v千米/小時，再設出發x₀小時，在點P改變方向，又經過y₀小時，在點Q處與B相遇．
則P、Q兩點坐標為（3vx₀，0），（0，vx₀+vy₀）．由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²知，
（3vx₀）²+（vx₀+vy₀）²=（3vy₀）²，
即（x₀+y₀）（5x₀-4y₀）=0．∵x₀+y₀＞0，∴5x₀=4y₀①
將①代入kPQ=-

x0+y0

3x0

，得kPQ=-

3

4

．
又已知PQ與圓O相切，直線PQ在y軸上的截距就是兩個相遇的位置．
設直線y=-

3

4

x+b與圓O：x²+y²=9相切，
則有

|4b|

32+42

=3，b=

15

4

答：A、B相遇點在離村中心正北3

3

4

千米處．

點評：本題考查了圓的方程的綜合應用，在這個題中注意解決實際問題的基本步驟，及題目條件的轉化，體現了轉化思想和數形結合思想，是個中檔題．