Question

（本小題滿分12分）
已知函數且導數.
（1）試用含有的式子表示，并求的單調區間；
（2）對于函數圖象上不同的兩點，且，如果在函數圖像上存在點（其中）使得點處的切線，則稱存在“相依切線”.特別地，當時，又稱存在“中值相依切線”.試問：在函數上是否存在兩點使得它存在“中值相依切線”？若存在，求的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
（2）不存在點滿足題意. 

(1)求導，根據，可得,然后根據可得
。函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為
（2）解本題的突破口是假設存在點滿足條件,
則,整理得:,
令,則問題轉化為方程:有根.
然后構造函數求導解決。
解：(1)，，， …………… 1分  ，（舍去），，……… 2分 函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.……………… 4分
(2) 假設存在點滿足條件,
則,整理得:, ……………… 6分
令,則問題轉化為方程:有根,
設,,……………… 9分
函數為上的單調遞增函數,且,,
所以不存在使方程成立,
即不存在點滿足題意.                         ……………… 12分