Question

【題目】設f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+ ）． （Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（ ）=0，a=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知，f（x）= sin2x﹣ = sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得：k ≤x≤k ，k∈Z；
由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得：k ≤x≤k ，k∈Z；
所以f（x）的單調遞增區間是[k ，k ]，（k∈Z）；單調遞減區間是：[k ，k ]，（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（ ）=sinA﹣ =0，可得sinA= ，
由題意知A為銳角，所以cosA= ，
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，
可得：1+ bc=b2+c2≥2bc，即bc ，且當b=c時等號成立．
因此S= bcsinA≤ ，
所以△ABC面積的最大值為
【解析】（Ⅰ）由三角函數恒等變換化簡解析式可得f（x）=sin2x﹣ ，由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得f（x）的單調遞增區間，由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得單調遞減區間．（Ⅱ）由f（ ）=sinA﹣ =0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc ，且當b=c時等號成立，從而可求 bcsinA≤ ，從而得解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用兩角和與差的正弦公式和正弦函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩角和與差的正弦公式：；正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數．