Question

已知定義在[-3，3]上的函數 y=tx-

1

2

x3，（t為常數）．
（1）當t∈[2，6]時，求f（x）在[-2，0]上的最小值及取得最小值時的x；
（2）當t≥6時，證明函數y=f（x）的圖象上至少有一點在直線y=8上．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導數，研究函數f（x）在[-2，0]上的單調性，確定出最值的位置，求出最值及取得最值時的自變量；
（2）t≥6時，研究函數的單調性，求出函數在定義在[-3，3]上最大值，將此最值與8比較即可得出所要證明的結論成立與否

解答：解：（1）f'（x）=t-

3

2

x2，令f′(x)=0得x=±

2t 3

∵2≤t≤6∴

2t 3

∈[

4 3

，2]

x	(-3，- 2t 3 )	- 2t 3	(- 2t 3 ， 2t 3 )	2t 3	( 2t 3 ，3)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

當

2t 3 ?

=2時，即t=6時，f（x）在[-

2t 3 ?

，0]上是增函數，
當

2t 3 ?

＜2即2＜t＜6時，f（x）在(-2，-

2t 3 ?

)減，在(-

2t 3 ?

，0)上增
∴f（x）在[-2，0]上最小值為f(x)min=f(-

2t 3 ?

)=-(

2t 3 ?

)

3

2

，此時x=-

2t 3

=-

6t 3

（2）由（1）可知f（x）在(-

2t 3 ?

，

2t 3 ?

)上增，
當

2t 3 ?

≥3即t≥

27

2

時，f（x）在[-3，3]上最大值為f（3）=3t-

27

2

≥

81

2

-

27

2

=27＞8
當

2t 3 ?

＜3即6≤t＜

27

2

時，f（x）在[0，3]上最大值為，f(

2t 3

)=t

2t 3

-

1

2

(

2t

3

)3=(

2t

3

)

3

2

≥(

2×6

3

)

3

2

=8
又f（0）=0，
∴y=f（x）的圖象上至少有一點在直線y=8上

點評：本題考查利用導數求閉區間上的最值，解題的關鍵是利用導數研究清楚函數的單調性，確定出最值取到的位置，求出最值，本題第二小題將圖象在直線上方的問題轉化為函數值的比較，解題時注意這一技巧的運用，本題運算量比較大，解題時要注意嚴謹運算，莫因為運算出錯導致解題失敗