Question

(本題滿分12分)在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）求二面角B—PC—D的余弦值.

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD   ∴PA⊥BD
∵ABCD為正方形   ∴AC⊥BD
∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD內，
∴平面PAC⊥平面BPD          .。。。。。。。。。。。。。。。。 6分
（Ⅱ）解法一：在平面BCP內作BN⊥PC垂足為N，連DN，
∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；
∴∠BND為二面角B—PC—D的平面角，
在△BND中，BN=DN=，BD=
∴cos∠BND =。。。。。。。。。。。。。。。 12分
解法二：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系如圖，
在平面BCP內作BN⊥PC垂足為N連DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；
∴∠BND為二面角B—PC—D的平面角
設

                              10分
               12分
解法三：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間坐標系，作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N，易證AM⊥平面PBC，AN⊥平面PDC，

設


∵二面角B—PC—D的平面角與∠MAN互補
∴二面角B—PC—D的余弦值為 …………………………. 12分

略