Question

設A，B兩城相距100km，在兩城市之間距A城xkm處的D處建一個發電廠給A，B兩城市供電．為了城市環保，發電廠與城市的距離不得小于40km，已知供電費用（元）與供電距離（km）的平方和供電量（億度）之積成正比，比例系數λ=0.9．若A城的供電量為20億度/月，B城供電量為10億度/月．
（1）將月供電總費用y（元）表示成x（km）的函數，并求其定義域；
（2）發電廠建在距A城多遠處，才能使供電費用最少？并求出供電費用的最小值．

Answer 1

解：（1）∵發電廠與城市的距離不得小于40km，又∵A，B兩城相距100km，
∴x的取值范圍為40≤x≤60；
∵供電費用（元）與供電距離（km）的平方和供電量（億度）之積成正比，比例系數λ=0.9，
又∵A城的供電量為20億度/月，B城供電量為10億度/月
∴y=0.9×20×x²+0.9×10×（100-x）²
化簡得：y=27x²-1800x+90000（40≤x≤60）；
（2）由y=27x²-1800x+90000=27+60000．
因為對稱軸x=不在定義域內
則二次函數在[40，60]上單調遞增
所以當x=40米時，y最�。�
答：故當發電站建在距A城40千米時，才能使供電總費用最小，最小值為61200元．
分析：（1）由已知中發電廠與城市的距離不得小于40km，A、B兩座城市相距100km，我們易求出求x的范圍，由已知中供電費用與“供電距離的平方與供電量之積”成正比，比例系數k=0.9，若A城市供電量為20億度/月，B城市為10億度/月，結合x的取值范圍，即可得到月供電總費用y表示成x的函數；
（2）由（1）所得的函數解析式，結合二次函數性質，先進行配方，開口向上，對稱軸為不在定義域內，根據函數的單調性可知當x=40米時，y最�。�
點評：本題考查的知識點是根據實際問題選擇函數類型，二次函數的性質，其中在利用函數數學模型解答實際問題時，定義域（自變量x的取值范圍）是易忽略而致錯的點．