Question

已知定點A（0，p）（p＞0）和長度為2p的線段MN，當線段MN在x軸上滑動時，
（1）求△MAN的外接圓圓心C的軌跡方程．
（2）當p=2時，過點A的直線l與C的軌跡相交于D、E兩點，DE的中垂線交x軸于點H，求△HDE面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設出C點坐標，由題意設出M，N的坐標，然后利用線段長度相等列式化簡；
（2）由題意可得直線l的斜率存在，當斜率為0時，求出兩交點坐標，面積可求，當斜率不為0時，設出兩交點坐標，聯立直線方程和拋物線方程后利用弦長公式求弦長，用點到直線距離公式求三角形的高，代入面積公式后化為關于k的表達式，則面積范圍可求，最后可得面積的最小值．

解答：解：（1）設C點的坐標為（x，y），不妨設M（x-p，0），N（x+p，0）．
則∵|AC|=|MC|，∴

x2+(y-p)2

=

p2+y2

化簡得：x²=2py；
（2）設過點A的直線方程為y=kx+2，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
當k=0時，易得H（0，0），D(2

2

，2)，E(-2

2

，2)，S△HDE=4

2

當k≠0時，聯立

y=kx+2 x2=4y

，得x²-4kx-8=0，∴

x1+x2=4k x1x2=-8

，
即DE中點為（2k，2k²+2），DE中垂線方程為y=-

1

k

(x-2k)+2k2+2，
取y=0，得H（2k³+4k，0）．
H到直線kx-y+2=0的距離為

|2k4+4k2+2|

1+k2

．
所以S△HDE=

1

2

•

|2k4+4k2+2|

1+k2

•

1+k2

|x1-x2|=(k2+1)2

16k2+32

＞4

2

故當k=0時，△HDE的面積有最小值，最小值為4

2

．

點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了弦長公式的引應用，考查了學生的計算能力，屬難題．