Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長為2

2

，離心率為e1=

2

2

，橢圓C₂與C₁有共同的短軸．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）若C₂與直線l：x-y+2=0有兩個不同的交點，求橢圓的離心率e₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先根據題意可推斷出橢圓方程中的長半軸，進而根據題意列出關于a，b，c的方程，求得a，b，c，則橢圓C₁的方程可得．
（II）設C₂的方程為

x2

m

+y2=1(m＞1)，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合方程有解的條件即可求得m的取值范圍，從而求得橢圓的離心率e₂的取值范圍，解決問題．

解答：解：（Ⅰ）由題意，

a= 2 c a = 2 2

，（2分）
所以c=1，b=1，（4分）
所以C₁的方程為：C1：

x2

2

+y2=1（6分）
（Ⅱ）橢圓C₂與C₁有共同的短軸，所以設C₂的方程為

x2

m

+y2=1(m＞1)，（8分）
聯立方程：

y=x+2 x2 m +y2=1

得，(1+m)x2+4mx+3m=0，

△=4(m2-3m)＞0 m＞1

，（10分）
（沒寫m＞1的，扣1分）
所以m＞3，（12分）
而e2=

m-1 m

=

1- 1 m

，（13分）
所以e2=

1- 1 m

∈(

6

3

，1)．（14分）

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓的簡單性質，解答關鍵是利用方程思想求得m的范圍，考查了學生對圓錐曲線基礎知識的綜合運用．