Question

給定集合A_n={1，2，3，…，n}，映射f：A_n→A_n滿足：
①當i，j∈A_n，i≠j時，f（i）≠f（j）；
②任取m∈A_n，若m≥2，則有m∈{f（1），f（2），..，f（m）}．
則稱映射f：A_n→A_n是一個“優映射”．例如：用表1表示的映射f：A₃→A₃是一個“優映射”．
表1                               

i	1	2	3
f（i）	2	3	1

表2

i	1	2	3	4
f（i）		3

（1）已知表2表示的映射f：A₄→A₄是一個優映射，請把表2補充完整（只需填出一個滿足條件的映射）；
（2）若映射f：A₁₀→A₁₀是“優映射”，且方程f（i）=i的解恰有6個，則這樣的“優映射”的個數是

84

．

Answer 1

分析：（1）根據“優映射”的定義可得，．
（2）根據“優映射”的定義，可知f（1）≠1，m≥2，根據m∈{f（1），f（2），..，f（m）}，且方程f（i）=i的解恰有6個，因此從2，3，…10這9個數中選取6個滿足方程f（i）=i即可求得結果．

解答：解；（1）；
（2）根據優映射的定義可知：f（1）≠1，
∵m≥2，則有m∈{f（1），f（2），..，f（m）}，且映射f：A₁₀→A₁₀是“優映射”，且方程f（i）=i的解恰有6個，
故有C₉⁶=84
故答案為：，84

點評：本題考查映射的定義，“優映射”的定義，判斷f（1）≠1，是解題的關鍵，是一道不錯的創新題，屬中檔題．