Question

（1）橢圓C:=1(a＞b＞ 0)與x軸交于兩點A、B，點P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：·為定值b²-a².

（2）由（1）類比可得如下命題：雙曲線C:=1(a＞0,b＞0)與x軸交于兩點A、B，點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，則·為定值.請寫出這個定值（不要求給出解題過程）.

Answer 1

(1)證明:設(shè)點P(x₀,y₀),x₀≠±a.依題意,得A(-a,0),B(a,0).

∴直線PA的方程為y=(x+a).

令x=0,得y_m=.

同理得y_n=.

∴y_my_n=.∵點P(x₀,y₀)是橢圓C上一點,∴+=1.

∴y₀²=(a²-x₀²).∴y_my_n==b².

∵=(a,y_n),=(-a,y_m),∴·=-a²+y_my_n=b²-a².

(2)-(a²+b²).