Question

如圖（1），C是直徑AB=2的⊙O上一點，AD為⊙O的切線，A為切點，△ACD為等邊三角形，連接DO交AC于E，以AC為折痕將△ACD翻折到圖（2）的△ACP位置．
（1）求證異面直線AC和PO互相垂直；
（2）若三棱錐P-ABC的體積為，求二面角A-PC-B的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，△ACD為等邊三角形，AD為⊙O的切線，A為切點，我們易結合線面垂直的判定定理，得到翻折后AC⊥平面PEO，進而根據線面垂直的性質得到異面直線AC和PO互相垂直；
（2）過P作PK⊥EO于K，連接KA，KB，KC，由同一法我們可以證得K，O重合，過B作BF⊥平面PAC于F，過B作BG⊥PC于G，連接FG，則∠BGF就是二面角A-PC-B的平面角，利用等體積法，求出B點到平面PAC的距離BF長，即可求出二面角A-PC-B的正弦值．
解答：解：（1）證明：等邊三角形△ACD中AD=DC，AD為⊙O的切線，A為切點，
∴DO⊥AC且E為AC中點    （2分）
以AC為折痕將△ACD翻折到圖（2）的△ACP位置時，
仍有PE⊥AC，OE⊥AC
∴AC⊥平面PEO  （4分）
∴AC⊥PO        （5分）
（2）過P作PK⊥EO于K，連接KA，KB，KC，
∵AC⊥平面PEO
∴AC⊥PK
∴PK⊥平面⊙O（7分）
∵PA=PC
∴KA=KC
∵圖（1）中∠ADC=60°，AB=2為⊙O的直徑，AD為⊙O的切線，A為切點，
∴Rt△ACB中，AC=AD=DC=AP=PC=，BC=1
∴V_P-ABC=AC•BC•PK=PK= （8分）
∴PK=
∴KA=KC=1
∴K，O重合
∴PO⊥平面⊙O（10分）
∴PA=PB=PC=，OA=OB=OC=BC=1
過B作BF⊥平面PAC于F，過B作BG⊥PC于G，連接FG
則PC⊥平面BFG，
∴FG⊥PC
∴∠BGF就是二面角A-PC-B的平面角（11分）
由三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC==BF•S_△PAC=•（）²•BF
得BF=（12分）
等腰三角形PBC中，BG=
∴sin∠BGF==
∴二面角A-PC-B的正弦值的正弦值為．（14分）
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，空間中直線與直線之間的位置關系，其中（1）的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理及性質定理，（2）的關鍵是確定∠BGF就是二面角A-PC-B的平面角．