Question

已知函數f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，求實數a的值；
（Ⅱ）設函數（x）=f′（x）-6，對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0成立，求實數x的取值范圍；
（Ⅲ）當a≤0時，請問：是否存在整數a的值，使方程a有且只有一個實根？若存在，求出整數a的值；否則，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，利用函數f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，可得f'（1）=6，從而可求實數a的值；
（Ⅱ）構造函數h（a）=3a+3x²-6，則對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有h（a）＜0成立，可得

h(1)＜0 h(-1)＜0

，從而可求實數x的取值范圍；
（Ⅲ）存在．方程f（x）=15有且只有一個實根，即為函數y=f（x）的圖象與直線y=15只有一個公共點，分類討論，可得-4＜a≤0，利用a是整數，即可得結論．

解答：解：（Ⅰ）求導數可得f′（x）=3x²+3a
∵函數f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，
∴f'（1）=6
∴3+3a=6，
∴a=1；
（Ⅱ）g（x）=f′（x）-6=3x²+3a-6
令h（a）=3a+3x²-6，則對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有h（a）＜0成立
∴

h(1)＜0 h(-1)＜0

，即

3x2-3＜0 3x2-9＜0

解得：-1＜x＜1
（Ⅲ）存在                 
理由如下：方程f（x）=15有且只有一個實根，即為函數y=f（x）的圖象與直線y=15只有一個公共點
∵f'（x）=3x²+3a，
∴（1）若a=0，則f'（x）≥0，∴f（x）在實數集R上單調遞增，此時，函數y=f（x）的圖象與直線y=15只有一個公共點；
（2）若a＜0，則f′(x)=3(x+

-a

)(x-

-a

)
列表如下：

x	(-∞，- -a )	- -a	(- -a ， -a )	-a	( -a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		f(- -a )		f( -a )

∴f極大值(x)=f(-

-a

)=(-

-a

)3+3a(-

-a

)-1=-2a

-a

-1；f極小值(x)=f(

-a

)=(

-a

)3+3a(

-a

)-1=2a

-a

-1＜0
依題意，必須滿足f(-

-a

)＜15，即(-a)

3

2

＜8，∴-4＜a＜0
綜上-4＜a≤0
∵a是整數，∴a可取-3，-2，-1，0
∴存在整數a的值為-3，-2，-1，0，使方程f（x）=15有且只有一個實根．

點評：本題考查導數知識的運用，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．