Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 + =1（a＞b＞0）與雙曲線 ﹣y2=1有相同的焦點(diǎn)F1 ， F2 ， 拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為M，若|MF1|+|MF2|=2 ．

（1）求橢圓的方程；
（2）若|MF|= ，求拋物線的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件得 ，解得a= ，b= ，

∴橢圓方程為 =1

（2）解：設(shè)M（x0，y0），則|MF|=y0+ = ，即p= ﹣2y0，

又M在橢圓上，

∴x02+3y02=6，且x02=2py0，

∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），

∴p= ，

∴拋物線方程為x2=3y

【解析】（1）根據(jù)橢圓定義可知|MF1|+|MF2|=2a；（2）根據(jù)拋物線x2=2py（p0）上的點(diǎn)（x0，y0）到焦點(diǎn)的距離d=y0+將y0用p表示，然后將（x0，y0）分別代入橢圓方程及拋物線方程，聯(lián)立組成方程組.