Question

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．設(shè)兩曲線(xiàn)y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線(xiàn)相同．
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出兩曲線(xiàn)的公共點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩曲線(xiàn)方程的導(dǎo)函數(shù)，由兩曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)相同，所以把公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代入兩曲線(xiàn)方程得到縱坐標(biāo)相同且分別代入到導(dǎo)函數(shù)中的函數(shù)值也相等，聯(lián)立消去公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到a與b的關(guān)系式，令b=h（t），自變量t=a，得到一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)，求出h（t）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出t的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出t的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值點(diǎn)，把求得的極大值點(diǎn)代入h（t）中即可求出b的最大值；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入到F（x）=f（x）-g（x）中得到F（x）的解析式，求出F′（x），根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可知x大于0，由題意可知a大于0，所以分x大于a和x小于a大于0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到a為函數(shù)的極小值點(diǎn)，把x等于a代入到F（x）中即可求出極小值，且該函數(shù)無(wú)極大值點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線(xiàn)相同．
∵f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，由題意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即

1 2 x02+2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
由x₀+2a=

3a2

x0

得：x₀²+2ax₀-3a²=0，即（x-a）（x+3a）=0，解得x₀=a或x₀=-3a（舍去）．
即有b=

1

2

a²+2a²-3a²lna=

5

2

a²-3a²lna，
令h（t）=

5

2

t²-3t²lnt（t＞0），則h′（t）=5t-6tlnt-3t=2t（1-3lnt），于是
當(dāng)t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

時(shí)，h′（t）＞0；
當(dāng)t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

時(shí)，h′（t）＜0，
故h（t）在（0，e

1

3

）上為增函數(shù)，在（e

1

3

，+∞）上為減函數(shù)，
則h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e

1

3

）=

5

2

(e

1

3

)2-3(e

1

3

)2lne

1

3

=

3

2

e

2

3

；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2 ax -3a2lnx-b(x＞0)，
則F′（x）=x+2α--

3a2

x

=

(x-a)(x+3a)

x

（x＞0）．
故F（x）在（0，α）為減函數(shù)，在（α，+∞）為增函數(shù)，
于是函數(shù)F（X）在x=a時(shí)有極小值F（α），F(xiàn)（X₀）=f（x₀）-g（x₀）=0無(wú)極大值．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)上過(guò)某點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．