Question

已知下列命題：
①若

AB

=(3，4)，則

AB

按

a

=(-2，1)平移后的坐標為（-5，5）；
②已知M是△ABC的重心，則

MA

 +

MB

 +

MC

 =

0

；
③周長為

2

+1的直角三角形面積的最大值為

1

4

；
④在△ABC中，若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，則△ABC是等邊三角形．
其中正確的序號是（將所有正確的序號全填在橫線上）

②③④

．

Answer 1

分析：①據向量的可平移性得到平移后的向量的坐標，
②連接AM并延長交BC與點D，則D為BC的中點，且AM=

2

3

BC，利用三角形法則用向量

AB

和

AC

表示即可．
③因為L=a+b+c，c=

a2+b2

，兩次運用均值不等式即可求解；或者利用三角代換，轉化為三角函數求最值問題．
④利用正弦定理，求出sin

1

2

A=sin

1

2

B=sin

1

2

C，推出△ABC是等邊三角形．

解答：解：①∵

AB

=(3，4)
∵向量是可平移的，平移后只改變起點、中的位置，不改變向量的坐標
∴平移后的坐標為（3，4），故錯；
②連接AM并延長交BC與點D，則D為BC的中點，且AM=

2

3

BC，
由三角形法則

AM

+

BM

+

CM

=

AM

+

AM

-

AB

+

AM

-

AC

=3

AM

-

AB

-

AC

=3×

2

3

AD

-

AB

-

AC

=(

AC

+

AB

)-

AB

-

AC

=

0

故

MA

+

MB

+

MC

=

0

正確；
③直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，周長L為

2

+1，面積為s，
a+b+

a2+b2

=L≥2

ab

+

2ab

．
∴

ab

≤

L

2+ 2

．
∴S=

1

2

ab≤

1

2

（

L

2+ 2

）²
=

1

2

•[

(2- 2 )L

2

]²=

3-2 2

4

L²=

1

4

．故正確；
④∵

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得sin

1

2

A=sin

1

2

B=sin

1

2

C，
∴A=B=C⇒a=b=c，則△ABC是等邊三角形，正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查向量的性質：向量是可以平移的，平移后與原向量相等；考查向量的三角形法則、平面向量基本定理和向量的表示；考查利用均值不等式解決實際；考查三角函數與正弦定理的應用，考查計算能力邏輯推理能力，常考題型．