Question

【題目】某校100名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖：

（1）求圖中a的值；

（2）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生期中考試數學成績的平均分；

（3）現用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學生，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取2名，求其中恰有1人的分數不低于90分的概率？

Answer 1

【答案】(1) a=0.005（2）74.5（3）

【解析】試題分析：（1）由頻率分布圖中小矩形面積和為1，能求出a的值
（2）由頻率分布直方圖，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表即可估計這100名學生期中考試數學成績的平均分．
（Ⅲ）現用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學生，則第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人，由此利用對立事件概率計算公式能求出從中隨機抽取2名，第4組的至少有一位同學入選的概率．

試題解析：（1）由題意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．

（2）由直方圖分數在[50，60]的頻率為0.05，[60，70]的頻率為0.35，[70，80]的頻率為0.30，

[80，90]的頻率為0.20，[90，100]的頻率為0.10，所以這100名學生期中考試數學成績的平均分的估計值為：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5

（3）由直方圖，得：

第3組人數為0.3×100=30。

第4組人數為0.2×100=20人，

第5組人數為0.1×100=10人．

所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，

每組分別為：

第3組：人，

第4組：人，

第5組： =1人．

所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．…

設第3組的3位同學為A1，A2，A3，第4組的2位同學為B1，B2，第5組的1位同學為C1，則從六位同學中抽兩位同學有15種可能如下：

（A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），

其中恰有1人的分數不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5種．…

所以其中第4組的2位同學至少有一位同學入選的概率為