Question

如下圖，正方體有8個頂點和12條棱，每條棱上均有一個中點，于是有棱的中點12個，頂點與中點合起來共有20個(圖（1）).過其中的兩點可作一條直線;過其中不在同一直線上的三點可作一個平面.現在考慮這些直線與平面的垂直關系.

(1)試舉出一直線與一平面相互垂直的例子(不少于4例);

(2)若一直線與一平面相互垂直,我們就說這條直線與這個平面構成了一個“垂直關系組”，兩個“垂直關系組”當且僅當其中兩條直線和兩個平面不全同一時稱為相異的（或不同的）.試求與正方體的棱相關的“垂直關系組”的個數.

Answer 1

分析:在正方體中,所有的棱都和與它相交的面垂直,利用中點也可產生與棱垂直的面.

解:如下圖:

(1)例如AB⊥平面BCKJ;

    例如EF⊥平面MPON(如圖(1));

    例如NF⊥平面ADKJ(如圖(2));

    例如IC⊥平面AJD(如圖(3)).

(2)正方體的棱有12條,而每一條棱都與3個平面垂直,如圖(1)中棱IJ與平面ID、平面NP及平面JC都垂直,所以與正方體的棱相關的“垂直關系組”的個數是12×3=36.

點評:挖掘正方體本身潛藏的特征，將每一條棱的情況分析清楚，做到不重不漏.