Question

（2013•貴陽二模）已知公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

2Sn+48

n

，數列{b_n}的最小項是第幾項，并求出該項的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據等差（等比）數列對應的前n項和、通項公式和性質，列出關于a₁和d方程，進行求解然后代入通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅱ）的結果求出S_n，代入b_n進行化簡后，利用基本不等式求出最小項以及對應的項數．

解答：解：（I）設公差為d且d≠0，則有

7a1+21d=70 a22=a1a6

，即

a1+3d=10 (a1+d)2=a1(a1+5d)

，
解得

a1=1 d=3

或

a1=10 d=0

 （舍去），
∴a_n=3n-2．
（II）由（Ⅱ）得，sn=

n[1+(3n-2)]

2

=

3n2-n

2

，
∴b_n=

2Sn+48

n

=

3n2-n+48

n

=3n+

48

n

-1≥2

3×48

-1=23，
當且僅當3n=

48

n

，即n=4時取等號，
故數列{b_n}的最小項是第4項，該項的值為23．

點評：本題是數列與不等式結合的題目，考查了等差（等比）數列對應的前n項和、通項公式和性質等，注意利用基本不等式求最值時的三個條件的驗證．